New PDF release: Differenzenapproximationen partieller Anfangswertaufgaben

By Rainer Ansorge

1956 veroffentlichten Lax und Richtmyer [6 eine Arbeit, in der unter Benutzung funktionalanalytischer Hilfsmittel die Struktur des Konvergenzverhaltens von Differenzapproximationen fur eine grosse Klasse linearer Anfangswertaufgaben bei partiellen Differential gleichungen aufgeklart werden konnte. Insbesondere konnte der Satz uber die Aquivalenz der numerischen Stabilitat mit der punktweisen Konvergenz eines mit der gegebenen Anfangswertaufgabe konsistenten Differenzenverfahrens weitestgehend unabhangig von dem der Aufga benstellung zugrundeliegenden normierten Raum und unabhangig vom Typ der approximierten Aufgabe formuliert werden. Zugleich ergab sich, dass unter gewissen Voraussetzungen neben den klassischen Lo sungen der gegebenen Anfangswertaufgabe auch deren verallgemeiner te Losungen durch das Differenzenverfahren approximierbar sind, wenngleich Fehlerabschatzungen oder auch nur Angaben uber die Kon vergenzordnung im Falle verallgemeinerter Losungen zunachst aus blieben. In den seither vergangenen zwei Jahrzehnten wurden mit Erfolg zahl reiche Versuche unternommen, diese Lax-Richtmyer-Theorie in ver schiedenen Richtungen zu erganzen und zu verallgemeinern. Dabei zeigte sich insbesondere, dass die punktweise Konvergenz der ite rierten Differenzenoperatoren bei der Approximation nichtlinearer Differentialgleichungen in der Regel nicht ausreicht, um die nume rische Brauchbarkeit eines Verfahrens zu gewahrleisten, jedoch ge lang es, auch bei entsprechend verfeinerten Konvergenzbegriffen un ter Verwendung geeigneter Stabilitatsdefinitionen Aquivalenzsatze aufzustellen und damit die Lax-Richtmyer-Theorie einschliesslich der aus ihr fur konkrete Probleme in den Anwendungsgebieten resultie renden Forderungen auf solche nichtlinearen Probleme zu erweitern. Naturgemass spielte dabei die Frage der Existenz und der numerischen Erfassbarkeit verallgemeinerter Losungen nichtlinearer Probleme ei ne nicht unerhebliche

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B. 6). Bemerkung (vgl. 6) ist die AufZösbarkeit nach der zu berechnenden Funktion u n +k sicherzustellen (worauf früher bereits hingewiesen wurde), beispieZsweise durch Konvergenznachweis eines (dann auch praktisch zu verwendenden) Iterationsverfahrens, etwa im quasi linearen Fall (I' = 0,1,2, ... ) [OJ mit beZiebigem u n +k . Die Forderung der Konvergenz der Iteration bedeutet unter anderem im allgemeinen eine Einschrtinkung der Schrittweite, wie schon das einfache Beispiel y' = g(t,y}, y(O} O~t~T, = Yo einer gewöhnZichen DifferentiaZgleichung Zehrt: Verwendet man zur Approximation das impZizite Einschrittverfahren (n = 0,1,2, ...

2u(t+h) - 2u(t) - hü(t) - hü(t+h)1 ~ h3 max \Ü:(t)! 1 (h,u o ) . (Eo(t)u o )/ für alle u o '" IR, so daß das Verfahren mit der gegebenen Aufgabe auf R konsistent von der Ordnung 2 ist. 2. In dem Banachraum m= c~~ (versehen mit der Maximum-Norm) betrachten wir die schon früher behandelte Aufgabe u t - u x = 2u 2 , 0 ~ t <_T die eindeutige Lösungen in Cf= fuluE: mnC 1 (1R),UulI< 2~} besaß. 4) wählen wir Ax = h. Zur Abschätzung des lokalen Fehlers haben wir folgenden Ausdruck zu untersuchen: \u(x,t+3h) - u(x,t+3h)1 lu(x,t+3h) + 9u(x,t+2h) - 9u(x,t+h) - u(x,t) - 12h{U 2 (x,t+2h) + u 2 (x,t+h)} - 3{u(x+h,t+2h) - u(x-h,t+2h) + u(x+h,t+h)-u(x-h,t+hl11.

1. h. es gebe eine Konstante L mit jg(t,u) - g(t,v)j ~ Llu-vl, für alle u,v€lR, für alle t~ [O,T). Dann ist das Verfahren auflösbar für alle h mit 2 L' etwa für h o Wir fordern weiter, daß 9 zweimal stetig nach beiden Variablen differenzierbar sei. B. dreimal stetig differenzierbar, so daß max lü'(t)1 existiert. Ol>t~T Mit der oben definierten Bedeutung von u(t+h) = u(t) + %{g(t,U(t» u gilt: + g(t+h,u(t+h»}. 4) gegeben durch lu (t+h) - [55J, eine eindeutig bestimmte Lösung. Diese Lösung ist sogar u(t+h) I h.

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